W tym artykule przedstawię Ci podstawowe pojęcia związane z szeregami potęgowymi o zmiennej rzeczywistej (szereg potęgowy to szczególny przypadek szeregu funkcyjnego). Przydadzą się umiejętności całkowania i różniczkowania (pochodne funkcji). Polecam również zapozać się z artykułem dot. kryteriów zbieżności szeregów liczbowych.

Definicja

Szeregiem potęgowym zmiennej rzeczywistej nazywamy szereg funkcyjny w postaci:

.

Punkt nazywamy środkiem szeregu.

Zbieżność szeregów potęgowych

Szeregi potęgowe są bezwzględnie zbieżnie na kole o środku i promieniu zbieżności (). Jest to po prostu przedział na osi OX: . Do badania zbieżności (promienia) szeregów służy Twierdzenie Cauchy'ego - Hadamarda.

Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda

Dany jest szereg potęgowy:

.

Niech:

.

Wtedy promień zbieżność szeregu wygląda następująco:

Przykład 1

Oblicz promień zbieżności szeregu potęgowego:

.

Do zbadania promienia oczywiście wykorzystamy Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, jednak wcześniej należy zauważyć, że postać szeregu, który mamy zbadać jest nieodpowiednia, należy go przekształcić (zmienna jest podniesiona do a nie ). Spójrzmy jak wyglądają kolejne wyrazy szeregu:

Należy zauważyć, że jest to szereg potęgowy (ze zmienną do n-tej), w którym po prostu zostały usunięte niektóre wyrazy:

.

Trzeba w takim razie przedstawić ten szereg w takiej postaci:

gdzie:

.

Pierwszy wyraz musimy wyciągnąć przed "sigmę" i zmienić licznik (od n=2) dla zachowania sumy i zgodności ze współczynnikami .

Teraz możemy już zastosować Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, obliczmy więc granicę:

.

Zwróćmy uwagę na supremum w wyrażeniu granicy, znaczy to tyle, że brać pod uwagę będziemy wyrazy czyli:

.

Wartość bezwzględna niczego nam nie zmienia, także:

.

Wyrażenie (patrz: twierdzenie) znajduje się oczywiście w przedziale , więc promień zbieżności badanego szeregu potęgowego wynosi 1.

Przykład 2

Oblicz promień zbieżności szeregu potęgowego:

.

Wykorzystując twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda potrzebujemy obliczyć następującą granicę:

.

Chcąc obliczyć tą granicę oczywiście będziemy musieli posłużyć się pewną równością:

.

Także:

.

Ostatecznie:

.

Szereg Taylora

Szeregiem Taylora w punkcie (wokół punktu) funkcji nazywamy szereg potęgowy:

,

gdzie to wartość n-tej pochodnej funkcji w punkcie .

(Proszę nie traktować tego jako formalnej definicji!)

Przykład 3a

Rozwinąć w Szereg Taylora wokół punktu 0 funkcję:

.

Obliczmy kilka pochodnych kolejnych rzędów tej funkcji:

,

,

,

.

Czyli:

.

Teraz wystarczy już podstawić tylko do wzoru, rozwinięciem funkcji f w Szereg Taylora jest szereg potęgowy:

.

Przykład 3b

Zadanie jest takie samo jak w przykładzie 3a, należy rozwinąć w Szereg Taylora funkcję f wokół punktu 0. Można to oczywiście zrobić w inny, łatwiejszy sposób. Czasem po prostu zamiast bawić się w liczenie kolejnych pochodnych funkcji warto zapamiętać rozwinięcia niektórych ważniejszych funkcji (niewątpliwie taką funkcją jest funkcja ) i wykorzystać je stosując odpowiednie działania na szeregach.

Rozwinięciem funkcji w Szereg Taylora wokół punktu 0 (inaczej Szereg Maclaurina) jest szereg:

(łatwo to sprawdzić licząc kolejne pochodne i podstawiając do wzoru).

W jaki sposób uzyskać rozwinięcie zadanej w Przykładzie 3a funkcji? Po prostu pomnóżmy obustronnie przez:

.

Takie działanie możemy wykonać ponieważ w żaden sposób nie zmieniamy sumy danego szeregu przez co powyższa równość jest prawdziwa (gdybyśmy chcieli pomnożyć przez n (które jest licznikiem) to sprawa by się skomplikowana). Z kolei chcąc dodać coś do zadanej funkcji, w zależności od przypadku, musielibyśmy manipulować licznikiem (chcąc włączyć jakiś wyraz do szeregu).

OK, wszystko fajnie, tylko, że rozwiązania przykładów (wynikowy szereg) 3a i 3b różnią się od siebie. Oczywiście łatwo wykazać, że mimo to są sobie równe:

.

Należy oczywiście zauważyć, że pierwszy wyraz szeregu po lewej stronie w żaden sposób go nie zmienia, także można go spokojnie pominąć (i skrócić silnię) na któryś ze sposobów poniżej:

  • ,
  • .

Przykład 4

Rozwinąć w szereg Taylora wokół punktu 3 funkcję:

.

W tym przypadku nie możemy się posłużyć żadnym znanym nam rozwinięciem funkcji w szereg, obliczmy więc pochodne kilku rzędów:

,

,

,

.

Od razu zauważamy, że w liczniku znajduje się silnia, z kolei w mianowniku mamy kolejne potęgi zmiennej (należy zwrócić uwagę na to, że w pierwszej pochodnej zmienna jest już podniesiona do potęgi 2 - trzeba będzie wziąć pod uwagę licznik szeregu).

Także n-ta pochodna funkcji f w punkcie 3 wygląda następująco (zgodnie ze wzorem Taylora - podstawiamy 3):

.

Dzięki wyrażeniu na początku ( -1 wzięty do n-tej) odpowiednie wyrazy mają odpowiedni znak (nieparzyste poprzedzone minusem).

Teraz podstawmy już tylko wszystko pod wzór Taylora:

.

Różniczkowanie i całkowanie szeregów potęgowych wyraz po wyrazie

Niech będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego i niech będzie rozwinięciem funkcji , wtedy:

,

dla każdego .

Przykład 5

Wyznacz obszar zbieżności i oblicz sumę szeregu potęgowego:

.

Zacznijmy od badania obszaru zbieżności tego szeregu. Na początku wykorzystując Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, obliczmy promień zbieżności tego szeregu:

,

oczywiście nie możemy sobie tak po prostu napisać, że tak granica jest równa 1. Wykorzystujemy do jej obliczenia twierdzenie o trzech ciągach:

,

.

Granice ciągów skrajnych są sobie równe i równe oczywiście 1, więc granica ciągu wewnętrznego jest również równa 1.

Ostatecznie promień zbieżności tego szeregu jest równy 1. Nie jest to jednak obszar zbieżności, Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda nie mówi nam co się dzieje na krańcach promienia zbieżności (przedział jest otwarty). Dlatego dodatkowo musimy jeszcze sprawdzić co się tam "dzieje". Chcąc tego dokonać wystarczy podstawić wartości z krańców (czyli -1 i 1) pod x, dostaniemy wtedy szeregi liczbowe, które będziemy musieli zbadać (zbieżność):

Pierwszy szereg (dla x=-1):

,

szereg ten oczywiście jest rozbieżny - nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów (granica ciągu jego wyrazów nie jest równa 0). W takim razie szereg potęgowy w punkcie -1 jest rozbieżny.

Drugi szereg (dla x=1):

,

sytuacja jest identyczna jak przy pierwszym - szereg ten jest również rozbieżny.

Obszarem zbieżności tego szeregu jest w takim razie przedział:

.

Zabierzmy się teraz za obliczenie jego sumy. Aby tego dokonać musimy wykorzystać jakiś szereg funkcyjny, którego suma jest nam znana. W tym przypadku oczywiście wykorzystamy najprostszy szereg potęgowy:

.

Musimy go tak przekształcić (wykonywać różne operacje) aby przybrał postać szeregu z zadania, oczywiście przekształcać nie będziemy tylko samego szeregu ale również adekwatnie funkcję do, której jest on zbieżny. Wykorzystać możemy operację obustronnego mnożenia przez skalar (niezwiązany w żaden sposób z licznikiem szeregu "n") bądź całkowania czy różniczkowania (patrz twierdzenie wyżej - szeregi potęgowe bardzo łatwo się różniczkuje, całkuje).

Pierwszą rzeczą jaką powinniśmy zrobić jest pomnożenie obu stron przez x. Dlaczego? Dzięki temu uzyskamy w wykładniku szeregu wyrażenie n+1, które później zostanie wykorzystane przy różniczkowaniu (wyrażenie z wykładnika wychodzi przed podstawę i zmniejsza się o 1). Spójrzmy:

,

,

.

Teraz zgodnie z twierdzeniem o różniczkowaniu wyraz po wyrazie możemy zróżniczkować szereg i funkcję:

.

Szereg powoli zaczyna nabierać "kształtów", potrzebujemy jeszcze jednego różniczkowania. Zatem:

.

Pozostaje jeszcze "skorygować" wykładnik w szeregu mnożąc obustronnie przez x, możemy również zmienić początek licznika n na n=1, ponieważ szereg dla n=0 niczego nie zmienia, sumą tego szeregu jest następująca funkcja:

.

Przykład 6

Wyznacz obszar zbieżności i oblicz sumę szeregu potęgowego:

.

Obliczmy najpierw obszar zbieżności (promień zbieżności i zbieżność szeregu na krańcach promienia). Promień zbieżności:

.

Już wiemy, że szereg ten jest na pewno zbieżny w przedziale (-1,1) (Granicę w mianowniku liczymy tak jak w poprzednim przykładzie wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach). Sprawdźmy teraz jak się zachowuje szereg na krańcach promienia zbieżności:

Pierwszy szereg (x=-1):

.

Na podstawie kryterium Leibniza szereg ten jest oczywiście zbieżny (Mamy dwa ciągi: i . Granica ciągu b jest równa zero - mamy zbieżność.). W takim razie szereg potęgowy jest w punkcie x=-1 zbieżny.

Drugi szereg (x=1):

.

Badając ten szereg kryterium porównawczym również orzekamy jego zbieżność (przyrównujemy go do szeregu harmonicznego rzędu 2). W punkcie x=1 szereg potęgowy jest również zbieżny i jego obszarem zbieżności jest:

.

Jeżeli chodzi o sumę szeregu to sytuacja wygląda podobnie jak w poprzednim przykładzie, tylko, że w tym przypadku będziemy musieli scałkować szereg, na którym będziemy bazować. OK, jako, że całkowanie zwiększa licznik (w mianowniku mamy n(n+1)), więc musimy zmniejszyć najpierw wykładnik o 1. No dobrze, ale w jaki sposób? Mnożąc obustronnie przez 1/x? Raczej nie, licznik będzie wtedy startował od 0, a w takim przypadku wyraz nie będzie istniał (dzielenie przez zero), także wystarczy "wystartować" licznik od 1 i zachowując równość:

,

Teraz możemy już przejść do całkowania szeregu:

W mianownik "wskakuje" nam dzięki temu n. Obliczmy całkę z funkcji metodą przez podstawianie:

.

Całość wygląda teraz tak:

.

Musimy teraz obliczyć wartość stałej C. Jak widać jest to równanie szereg potęgowy=funkcja, oznacza to, że dla pewnych x równość ta zawsze będzie prawdziwa. W takim razie możemy podstawić cokolwiek (żeby tylko zachować równość) pod x i obliczyć w ten sposób stałą C. Spróbujmy z 0:

,

.

Stałej się pozbyliśmy, szereg wygląda następująco:

.

Ponownie całkujemy całość obustronnie, aby uzyskać pod szeregiem (n+1) w mianowniku:

.

Całka (przez części):

.

Oddzielnie policzmy całkę powstałą z metody "przez części":

.

Ostatecznie:

,

czyli szereg wygląda już tak:

.

Stałej C pozbywamy się w identyczny sposób jak przy wcześniejszym całkowaniu (podstawiamy x=0). Teraz już wystarczy poprawić wykładnik w szeregu i dostaniemy szereg z zadania - mnożymy oczywiście przez 1/x:

,

.

Przykład 7

Rozwinąć w szereg Taylora wokół 0 funkcję:

i znaleźć obszar zbieżności.

Zadana wyżej funkcja jest dość szczególna, chcąc rozwinąć ją w szereg Taylora wokół 0 licząc kolejne jej pochodne nie wyszłoby nam nic dobrego. A to dlatego, że w mianowniku zawsze będzie występował sam x (z różnym wykładnikiem). i nie będzie można pod niego podstawić zera. Łatwiej będzie znaleźć rozwinięcie sinusa i odpowiednio je przekształcić (pomnożyć przez 1/x i scałkować).

Obliczmy kilka pierwszych pochodnych funkcji sin(x) - obok wartość w zerze:

,

,

,

.

Kolejne pochodne będą się już powtarzać. Zauważmy, że tylko nieparzyste pochodne mają wartość różną od zera (parzyste będą nam zerować całe wyrażenie - patrz wzór - dlatego możemy je pominąć). Wybierając tylko określone wyrazy musimy zwrócić uwagę na silnię i wykładnik x'a.

Spójrzmy na kilka kolejnych wyrazów naszego szeregu:

Chcąc wybrać tylko wyrazy nieparzyste, musimy po prostu zmienić wykładnik i silnię - na liczbę nieparzystą, czyli 2n+1 (każda liczba nieparzysta jest w takiej postaci):

.

Mając rozwinięcie sinusa w szereg Taylora, możemy zacząć przekształcenia ku naszej funkcji z zadania (mnożymy najpierw obustronnie przez 1/x, później całkujemy):

,

,

.

I mamy rozwinięcie w szereg Taylora tzw. sinusa całkowego.

Zostaje jeszcze obszar zbieżności - niestety przed chwilą powstały szereg trzeba będzie przekształcić. Forma w jakiej jest nie kwalifikuje się pod twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, spójrzmy na twierdzenie, szeregi muszą być w następującej postaci: , nasz szereg wygląda tak: .

Przekształcić go musimy w następujący sposób (wyodrębnić ciąg a_n):

gdzie:

.

Skąd taki dziwny wykładnik przy podstawie -1? Zauważmy, że kolejne wyrazy szeregu są numerowane w normalnym porządku, jednak wyrażenia gdzie są podstawiane powodują, że są to liczby nieparzyste (wykładnik przy x). Stąd w przypadku gdy n będzie nieparzyste (w postaci 2k+1) to wybrać mamy wyraz pierwszy. Z kolei wykładnik przy -1 był równy po prostu n, przekształcając tak szereg wybierać będziemy tylko liczby nie parzyste, co sprawi, że zawsze będzie to -1, dokonując takiego zabiegu w wykładniku znajdą się zarówno liczby parzyste jak i nieparzyste.

Teraz możemy obliczyć granicę z twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda:

.

Granica jest równa zero, oznacza to, że promień zbieżności jest nieskończony, szereg jest zbieżny dla dowolnego x.

Literatura:


Tomek 2012-05-26 17:43

Dobra stronka. Przejrzyście z dobrymi komentarzami.

Marat Dakunin 2016-08-29 13:36

bez sensu

Marat Dakunin 2016-10-07 16:05

Przepraszam za to wyżej.


Post comment