W tym artykule chciałbym przedstawić Ci pojęcie "szeregu Fouriera". Mam nadzieję, że pomoże Ci on w zrozumieniu danego zagadnienia. Nie będzie to jednak "zwykły" wykład z analizy matematycznej. Znajdują się tutaj głównie przykłady, które mam nadzieję, w dość przystępny sposób zaprezentują Ci działanie szeregów Fouriera (Głównym wymaganiem od czytelnika jest umiejętność liczenia całek).
Definicja
Wypadałoby zacząć od definicji. Szeregiem Fouriera nazywamy nieskończony szereg funkcyjny w postaci:
\[ S(x) = \frac{a_0}{2}+ \sum _{n=1}^\infty a_n \cos nx + b_n \sin nx \]
Szereg Fouriera pozwala funkcję okresową o okresie \(2\pi\) przedstawić za pomocą sumy funkcji trygonometrycznych.
Współczynniki (wzory Eulera-Fouriera) \(a_n\) i \(b_n\) dla funkcji określonej na przedziale \([-\pi, \pi]\) definiowane są w następujący sposób:
\[ a_n=\frac{1}{\pi}\int _{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx \]
\[ b_n=\frac{1}{\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \]
Wzory Eulera-Fouriera przybierają prostszą postać w dwóch przypadkach, gdy rozwijana w szereg funkcja jest parzysta albo nieparzysta: \(f(x)=f(-x)\) albo \(-f(x)=f(-x)\).
Funkcje parzyste:
\[ a_0=\frac{2}{\pi} \int _{0}^{\pi} f(x)dx,\quad a_n=\frac{2}{\pi} \int _{0}^{\pi} f(x) \cos nx dx,\quad b_n=0 \]
Funkcje nieparzyste:
\[ a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2}{\pi} \int _{0}^{\pi} f(x) \sin nx dx \]
Jak widać, powyższe wzory znacznie ułatwiają obliczenie współczynników. Zmienia się przede wszystkim przedział całek oznaczonych.
Przykład 1
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: \(f(x)=x\) na przedziale \([-\pi, \pi]\).
Funkcja liniowa jest nieparzysta, potrzebny jest więc tylko współczynnik \(b_n\).
\[ b_n = \frac{2}{\pi} \int _0^\pi x \sin nx dx \]
Zanim przejdziemy do właściwych obliczeń warto obliczyć sobie najpierw całki nieoznaczone:
\[ \int \cos nx dx,\quad \int \sin nx dx \]
Całki te obliczymy metodą "przez podstawianie":
\[ \int \cos nx dx = \begin{Bmatrix} t = nx \\ dt = ndx \\ \frac{dt}{n} = dx \end{Bmatrix} = \frac{1}{n} \int \cos t dt = \frac{\sin nx}{n}+C \]
\[ \int \sin nxdx = \begin{Bmatrix} t = nx \\ dt = ndx \\ \frac{dt}{n} = dx \end{Bmatrix} = \frac{1}{n}\int \sin t dt = - \frac{\cos nx}{n} + C \]
Zabierzmy się za współczynnik \(b_n\), obliczmy najpierw całkę nieoznaczoną:
\[ \frac{2}{\pi} \int x \sin nx dx = \begin{Bmatrix} u = x & v' = \sin nx \\ u' = 1 & v = - \frac{\cos nx}{n} \end{Bmatrix} = \]
\[ \frac{-2x \cos nx}{\pi n} + \frac{2}{\pi n} \int \cos nx dx = \frac{-2x \cos nx}{\pi n} + \frac{2 \sin nx}{\pi n^2} \]
Kończymy "oznaczając całkę":
\[ \frac{-2 \pi \cos \pi n}{\pi n} + \frac{2\sin \pi n}{\pi n} = \frac{-2\pi \cos \pi n}{\pi n^2} + \frac{2\sin nx}{\pi n^2} = \]
\[ \frac{2(-\pi n \cos \pi n + \sin \pi n)}{\pi n^2} = \frac{-2(-1)^n}{n} \]
W powyższym równaniu (lewa strona) \(\sin\) zawsze będzie równy 0, \(\cos\) z kolei przyjmuje kolejno wartości: \(-1, 1, -1, 1\dots\) itd.. Stąd takie uproszenie.
Wracamy teraz do definicji szeregu, współczynnik \(a_n\) jest równy \(0\) dla dowolnego \(n\) więc wystarczy podstawić współczynnik \(b_n\):
\[ f(x) \backsim \sum_{n=1}^\infty \frac{-2(-1)^n}{n} \sin nx \]
Przykład 2
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję: \(f(x) = |x|\) na przedziale \([-\pi, \pi]\).
Funkcja ta jest parzysta, więc od razu wiadomo z jakich wzorów na współczynniki będziemy korzystać. Nasuwa się tylko jedno pytanie: Skąd wziąć całkę z \(f(x)\)?
Spójrzmy na tą funkcję w inny sposób, na przedziale \([0, \pi]\) jest to funkcja liniowa. W poprzednim przykładzie rozwijaliśmy tą funkcję według sinusów (Funkcja liniowa i funkcja sin są nieparzyste). Jako, że \(f(x)\) jest parzysta, funkcja liniowa po odbiciu względem \(OY\) będzie również parzysta, wystarczy więc tylko rozwinąć funkcję liniową według kosinusów.
Potrzebna nam będzie następująca całka:
\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos dx \]
\[ \frac{2}{\pi} \int x \cos nx dx = \begin{Bmatrix} u = x & v' = \cos nx\\ u' = 1 & v = \frac{\sin nx}{n} \end{Bmatrix} = \]
\[ \frac{2x\sin nx}{\pi n} - \frac{2}{\pi n} \int \sin nx dx = \frac{2x \sin nx} {\pi n} + \frac{2\cos nx}{\pi n^2} \]
Uwzględniamy przedział \([0, \pi]\):
\[ \frac{2\pi \sin \pi n}{\pi n} + \frac{2\cos \pi n}{\pi n^2} - \frac{2}{\pi n^2} = \]
\[ \frac{2\pi n \sin \pi n +2\cos \pi n - 2}{\pi n^2} = \]
\[ \frac{2(-1)^n - 2}{\pi n^2} \]
Z powyższego wzoru niestety nie obliczymy współczynnika . Należy więc policzyć całkę:
\[ \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x dx = \pi \]
Podstawiamy teraz współczynniki i mamy gotowy szereg:
\[ f(x) \backsim \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^n-2}{\pi n^2} \cos nx \]
Przykład 3
Rozwinąc w szereg Fouriera funkcję: \(f(x) = x^2 -3x\) na przedziale \([-\pi, \pi]\).
Niestety ta funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta, do rozwinięcia funkcji w szereg potrzebne będą wszystkie współczynniki.
Zacznijmy od współczynnika \(a_0\):
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 - 3xdx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx - \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}3xdx = \]
\[ \frac{x^3}{3\pi} - \frac{3x^2}{2\pi} = \frac{\pi^2}{3} - \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi^2}{3} + \frac{3\pi}{2} = \frac{2\pi^2}{3} \]
Kolejna całka:
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (x^2-3x) \cos nx dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos nx dx - \frac{3}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx dx \]
Zabierzmy się za pierwszą z całek:
\[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos nx dx = \begin{Bmatrix} u = x^2 & v'\ = \cos nx \\ u' = 2x & v = \frac{sin nx}{n} = \end{Bmatrix} \]
\[ \frac{x^2 \sin nx}{\pi n} - \frac{2}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx dx = \]
\[ \frac{x^2 \sin nx}{\pi n} + \frac{2x \cos nx}{\pi n^2} + \frac{2\sin nx}{\pi n^3} = \]
\[ \frac{2 \cos \pi n}{n^2} + \frac{2 \cos(-\pi n)}{n^2} = \frac{2(-1)n}{n^2} + \frac{2(-1)^n}{n^2} = \frac{4(-1)^n}{n^2} \]
Druga całka na przedziale \([-\pi, \pi]\) jest równa zero, więc współczynnik \(a_0\) znajduje się linijkę wyżej.
Jeżeli chodzi o współczynnik \(b_0\) to obliczenie całki jest analogiczne jak w poprzednim przykładzie, dlatego po prostu podam wynik:
\[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (x^2 -3x)\sin nx dx = \frac{6(-1)^n}{n} \]
Tak wygląda szereg:
\[ f(x) \backsim \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos nx + \frac{6(-1)^n}{n} \sin nx \]
Przykład 4
Rozłożyć w szereg Fouriera funkcję: \(f(x)=x\) na przedziale \([-\pi, \pi]\). Całkując, wykorzystać to rozłożenie, aby otrzymać rozwinięcie w szereg Fouriera funkcji: \(g(x) = x^2\).
Rozwinięcie funkcji liniowej jest znane z pierwszego przykładu.
Wystarczy teraz skorzystać z twierdzenia o całkowalności sumy szeregu funkcyjnego, które mówi (w skrócie): Całka sumy równa się sumie całek (Patrz również: twierdzenie o różniczkowaniu sumy szeregu funkcyjnego).
Uwaga: Szereg funkcyjny, który chcemy całkować (różniczkować) wyraz po wyrazie musi być jednostajnie zbieżny do swojej funkcji!
Czyli zachodzi nastepująca równość:
\[ \int_a^b \left( \sum_{n=1}^\infty f(x) \right) dx = \sum_{n=1}^\infty \left( \int_a^b f(x) dx \right) \]
Zaczynamy od szeregu z przykładu pierwszego:
\[ \int \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{-2(-1)^n}{n} \sin nx \right) dx = \sum_{n=1}^\infty \left( \int \frac{-2(-1)^n}{n} \sin nx dx \right) \]
Ułamek można przenieść przed całkę, zostanie nam proste do scałkowania wyrażenie:
\[ \frac{-2(-1)^n}{n} \int \sin nx dx = \frac{2(-1)^n}{n^2} \cos nx \]
Teraz zajmijmy się drugą stroną równości (należy pamiętać o całkowaniu obu stron!):
\[ \int x dx = \frac{x^2}{2} \]
Mamy już gotowy szereg:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos nx = x^2 \]
No ale jeszcze tu czegoś brakuje, należy zauważyć, że funkcja \(g(x)\) jest parzsta. W związku z tym należy obliczyć jeszcze współczynnik \(a_0\).
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^2}{3} \]
Kompletny szereg wygląda następująco:
\[ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos nx = x^2 \]
Przykład 5
Korzystając z rozwinięcia funkcji \(f(x) = x\) w szereg Fouriera uzasadnić równość:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2n-1} = \frac{\pi}{4} \]
Rozwinięcie funkcji liniowej jest znane z pierwszego przykładu.
Na potrzeby szeregu w treści zadania dokonajmy małego przekształcenia:
\[ 2 \sum_{n+1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx = x \]
Zadanie polega na odpowiednim doprowadzeniu postaci powyższego szeregu do tego z treści zadania i sprawdzeniu czy taka równość rzeczywiście zachodzi.
Na początek dzielimy obustronnie przez \(2\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx = \frac{\pi}{n} \]
Rozbijmy teraz szereg na wyrazy parzyste i nieparzyste:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n+1}{n} \sin nx = \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \]
gdzie:
\[ f_n(x) = \begin{cases} \frac{(-1)^{2k+1}}{2k} \sin 2kx & \textrm{dla} & n=2k \\ \frac{(-1)^{2k}}{2k-1} \sin (2k-1)x & \textrm{dla} & n=2k-1 \end{cases} \]
Spójrzmy na prawą stronę tego równania, wystarczy teraz dokonać podstawienia:
\(x=\frac{\pi}{2}\) aby pojawiła się nam po prawej żądana suma...
\[ \sum_{n=1}^\infty f_n(x)= \frac{\pi}{4} \]
gdzie:
\[ f_n(x) = \begin{cases} \frac{(-1)^{2k+1}}{2k} \sin 2k \frac{\pi}{2} & \textrm{dla} & n = 2k \\ \frac{(-1)^{2k}}{2k-1} \sin (2k-1) \frac{\pi}{2} & \textrm{dla} & n=2k-1 \end{cases} \]
Po wymnożeniu i skróceniu (i wzięciu pod uwagę, że \(\sin k\pi = 0\)) n-ty wyraz szeregu wygląda następująco:
\[ f_n(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{dla} & n=2k \\ \frac{(-1)^{2k}}{2k-1} \sin (k\pi - \frac{\pi}{2}) & \textrm{dla} & n= 2k-1 \end{cases} \]
Wszystkie wyrazy parzyste nam się wyzerowały. W przypadku wyrazów nieparzystych musimy skorzystać ze wzoru na różnicę kątów sinusa (możemy wrócić również do "normalniej" postaci szeregu):
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{2k}}{2k-1} \sin k\pi \cos \frac{\pi}{2} - \frac{(-1)^{2k}}{2k -1}\cos k\pi \sin \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4} \]
\[ \sum_{k=1}^\infty 0 + (-1) \frac{(-1)^{2k}}{2k-1}(-1)^k \times 1 = \frac{\pi}{4} \]
Po uproszczeniu:
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{3k+1}}{2k-1} = \frac{\pi}{4} \]
Trójka w wykładniku w żaden szczególny sposób nie zmienia znaku więc można ją spokojnie usunąć (Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej daje parzystą, iloczyn nieparzystej i nieparzystej daje nieparzystą - prosty dowód "wprost" załatwi sprawę).
W ten oto sposób pokazaliśmy, że równość ta jest prawdziwa.
Przykład 6
Obliczyć sumę następującego szeregu:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \]
Tematem tego artykułu są szeregi Fouriera. Wiec odpowiedź na pytanie "Z jakiego szeregu funkcyjnego skorzystać przy obliczeniu sumy?" nasuwa się sama.
Spójrzmy na przykład czwarty, szeregi są dość do siebie podobne, a więc zabierzmy się do przekształcania równania:
\[ \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos nx = x^2 \]
\[ 4 \sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n}{n^2} \cos nx = \frac{3x^2-\pi^2}{3} \]
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx = \frac{3x^2 - \pi^2}{12} \]
Podstawmy \(x=0\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = - \frac{\pi^2}{12} \]
Szeregi są identyczne, mamy gotową odpowiedź.
Idea tego typu zadań polega na znalezieniu odpowiedniego rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera, później po odpowiednich przekształceniach dopasowania x-em do właściwego szeregu. Bardzo przydatne są twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu funkcyjnego. W znaczny sposób skracają obliczenia (np. Przykład 4 i Przykład 6).
Temat szeregów Fouriera w tym artykule oczywiście nie został całkowicie wyczerpany, zamierzam w oddzielnym artykule wspomnieć co nieco o współczynnikach zespolonych. W razie jakichkolwiek wątpliwości związanych z powyższymi przykładami proszę o kontakt e-mailowy. Jeżeli znalazłeś(aś) jakiś błąd proszę o merge request do repozytorium z blogiem.
Literatura
- M. Gewert, Z. Skoczylas - "Analiza matematyczna 2 - Definicje, Twierdzenia, Wzory", Wyd. 13, Wrocław: GIS 2005,
- A. Sołtysiak - "Analiza matematyczna Część II", Poznań: Wydawnictwo naukowe UAM 1996.