Kryteria zbieżności szeregów liczbowych to zbiór twierdzeń, które mają nam pomóc w określeniu zbieżności szeregu liczbowego (mówimy, ze szereg jest zbieżny jeżeli jego suma jest "skończona").
Co będzie potrzebne?
- podstawy teorii granic,
- jakiekolwiek pojęcie o obliczaniu całek.
Zanim jednak przejdę do omawiania kolejnych kryteriów i przykładów, należy wspomnieć o warunku koniecznym zbieżności szeregów:
Jeżeli szereg \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) jest zbieżny to \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).
Niestety jest to warunek konieczny, czyli na jego podstawie nie możemy ostatecznie stwierdzić zbieżności szeregu liczbowego, można co najwyżej stwierdzić jego rozbieżność.
Przykład 1
Szereg \(\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}\) jest rozbieżny ponieważ granica:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n\to \infty} = \frac{n}{n(1 +\frac{1}{n})} = \lim_{n \to \infty} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1 \neq 0 \]
Z kolei szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\) jest również rozbieżny (mimo, że granica jest zbieżna do 0), zostanie to pokazane a'propos kryterium całkowego.
Niestety warunku dostatecznego zbieżności szeregów liczbowych nie ma, więc pozostają nam tylko kryteria zbieżności.
Kryterium całkowe zbieżności/rozbieżności szeregów
Funkcja \(f\) jest nieujemna i nierosnąca (analogicznie dla niedodatniej i niemalejącej) na przedziale \([a, \infty]\), gdzie \(a \in \mathbb{N}\) wtedy szereg:
\[ \sum_{n=a}^\infty f(n) \]
i całka:
\[ \int_a^\infty f(x) dx \]
są zbieżne/rozbieżne do nieskończoności.
Wystarczy więc obliczyć całkę nieoznaczoną, w niektórych przypadkach może to być zbyt uciążliwe, więc zaleca się skorzystanie z tego kryterium dopiero gdy pozostałe kryteria nie będą w stanie orzec zbieżności szeregu.
Przykład 2
Przykładem takiego szeregu, którego zbieżności nie można stwierdzić np. za pomocą kryterium d'Alemberta (o którym oczywiście w dalszej części artykułu) jest szereg:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \]
Jest on nierosnący i nieujemny więc można go zbadać za pomocą kryterium całkowego, zacznijmy od obliczenia całki niewłaściwej:
\[ \int_1^\infty \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{1}{x} dx = \lim_{t \to \infty} (\ln|t| - \ln 1) = \lim_{t\to \infty} (\ln|t|) = \infty \]
Całka ta jest rozbieżna, więc na podstawie kryterium całkowego stwierdzamy, że szereg jest rozbieżny.
Przykład 3
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{n^2}} \]
Zbadajmy monotoniczność funkcji za pomocą jej pochodnej:
\[ f(x) = \frac{x}{e^{x^2}} \quad f'(x)= \frac{(x)' \times e^{x^2} - x \times (e^{x^2})'}{(e^{x^2})^2} = \frac{e^{x^2} - 2x^2e^{x^2}}{e^{x^4}} = \frac{1 - 2x^2}{e^{x^2}} \]
Funkcja jest nierosnąca (patrz jakie warunki musi spełniać funkcja dla kryterium całkowego) gdy jej pochodna jest niedodatnia, należy w takim razie rozwiązać następującą nierówność:
\[ 1-2x^2 \leq 0 \]
Pierwiastkami tej nierówności są:
\[ x_1 \geq \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad x_2 \leq - \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Przedział na którym funkcja ma być nierosnąca ma się zaczynać od liczby naturalnej, bierzemy w takim wypadku sufit pierwszego pierwiastka (drugi odrzucamy z oczywistych względów). Czyli funkcja jest nierosnąca i nieujemna na przedziale: \(x \in [1,\infty]\).
Szereg spełnia warunek konieczny zbieżności szeregów, jest nieujemny i nierosnący. Pozostaje obliczyć nam całkę niewłaściwą:
\[ \int_1^\infty \frac{x}{e^{x^2}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t xe^{-x^2} dx = \begin{Bmatrix} u = -x^2 \\ du = -2xdx \\ -\frac{1}{2} du = xdx \end{Bmatrix} = \lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} \int_1^t e^u du = \]
\[ \lim_{t \to \infty} \left( - \frac{1}{2e^{t^2}} + \frac{1}{2e} \right) = 0 + \frac{1}{2e} = \frac{1}{2e} \]
Na podstawie kryterium całkowego stwierdzamy, że szereg jest zbieżny.
Przykład 4
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{1 + n} \]
Należy zbadać monotoniczność funkcji:
\[ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \]
\[ f'(x) = \frac{(\sqrt{x})' \times (x+1) - \sqrt{x} \times (x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+1)^2} = \]
\[ \frac{\frac{x+1 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1 -x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \]
Funkcja będzie nierosnąca gdy pochodna będzie mniejsza od 0. Należy więc rozwiązać nierówność:
\[ \frac{1- x}{2\sqrt{x}(x+1)^2} \leq 0 \]
Nierówność ta nie jest zbyt skomplikowana i od razu widać, że: \( x \geq 1\)
Czyli funkcja jest nierosnąca i nieujemna na przedziale: \(x \in [1,\infty]\). Można teraz przejść do obliczenia całki niewłaściwej:
\[ \int_1^\infty \frac{\sqrt{x}}{x+1} = \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{\sqrt{x}}{x+1} dx = \begin{Bmatrix} u = \sqrt{x} \\ u^2 = x \\ 2udu = dx \end{Bmatrix} = \]
\[ 2 \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{u^2}{u^2+1} du = 2 \lim_{t \to \infty} \int_1^t \frac{u^2 +1 - 1}{u^2 + 1} du = \]
\[ 2 \lim_{t\to \infty} \left( \int_1^t \frac{u^2 + 1}{u^2 + 1} - \int_1^t \frac{1}{u^2 + 1} \right) = 2 \lim_{t \to \infty} \left( \int_1^t 1 du - \int_1^t \frac{1}{u^2 + 1} du \right) = \]
\[ 2 \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{t} - 1 - \arctg{\sqrt{t} + \frac{\pi}{4}} \right) = \infty \]
Całka jest rozbieżna, więc badany szereg liczbowy na podstawie kryterium całkowego jest również rozbieżny.
Kryterium d'Alemberta zbieżności/rozbieżności szeregów
Niech:
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = g \]
Szereg liczbowy:
\[ \sum_{n=1}^\infty a_n \]
jest zbieżny gdy \( g < 1 \), natomiast jest rozbieżny gdy \( 1 < g \leq \infty \). W przypadku gdy granica jest równa \(1\) to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga zbieżności/rozbieżności szeregu liczbowego. Należy zastosować inne kryterium.
Przykład 5
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \]
No to zabieramy się do skomponowania i obliczenia granicy wg kryterium d'Alemberta:
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \times \frac{n!}{2^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \times 2 ^n}{(n+1)n!} \times \frac{n!}{2^n}= \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 \]
Granica jest równa 0, czyli jest mniejsza od 1. Na podstawie kryterium d'Alemberta orzekamy zbieżność badanego szeregu liczbowego.
W tym przypadku wartość bezwzględną można było bez większych zmartwień opuścić i nie rozpatrywać dwóch przypadków , wyrażenie "pod granicą" zawsze będzie większe od 0 (patrz do jakiego przedziału należy licznik n i jak zachowują się ciągi w liczniku i mianowniku).
Sprawa wyglądała by całkowicie inaczej gdyby był to np. szereg funkcyjny (szereg liczbowy "z parametrem"), rozpatrywalibyśmy dwa przypadki i badalibyśmy przede wszystkim obszar zbieżności szeregu, czyli przedział na jakim szereg ten jest zbieżny (przedział argumentów \(x\) na jakim szereg funkcyjny jest zbieżny).
Przykład 6
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n =2}^\infty \frac{\ln{n}}{\pi^n} \]
Granica wygląda następująco:
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\ln{(n+1)}}{\pi^{n+1}} \times \frac{\pi^n}{\ln{n}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln{(n+1)}}{\pi \pi^n} \times \frac{\pi^n}{\ln{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi} \times \frac{\ln{(n+1)}}{\ln{n}} = \frac{1}{\pi} \]
Na podstawie kryterium d'Alemberta orzekamy, że badany szereg liczbowy jest zbieżny.
Kwestia wartości bezwzględnej wygląda podobnie jak w poprzednim przykładzie, można ją sobie podarować.
Granicę ułamka z logarytmami naturalnymi można łatwo pokazać za pomocą twierdzenia o trzech ciągach wykorzystując fakt, że: \(\ln{n} < n\).
Np.:
\[ \frac{n}{n+1} \leq \frac{\ln{(n+1)}}{\ln{n}} \leq \frac{n+1}{n} \]
Granica ciągu z lewej i prawej dąży do \(1\), więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach również granica ciągu środkowego dąży do \(1\).
Przykład 7
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{n^n} \]
Obliczmy więc następującą granicę:
\[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \frac{n^n}{3^n n!} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \times 3^n(n+1)n!}{(n+1)(n+1)^n} \times \frac {n^n}{3^n n!} = \]
\[ \lim_{n \to \infty} 3 \times \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} 3 \times \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n\to \infty} 3 \times \left( \frac{n+1}{n} \right)^{-n} = \]
\[ \lim_{n \to \infty} 3 \times \left[ \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \right]^{-1} = \frac{3}{e} > 1 \]
Na podstawie kryterium d'Alemberta orzekamy, że badany szereg liczbowy jest rozbieżny ponieważ granica jest większa od \(1\) (\(\frac{3}{e} \sim 1.10346\)).
W tym przykładzie do obliczenia granicy skorzystaliśmy z faktu:
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \]
Wystarczy proste przekształcenie potęg aby dojść do takiej postaci. W szeregach gdzie występuje wyrażenie trzeba się spodziewać właśnie tego typu granicy (badając szereg za pomocą kryterium d'Alemberta, badając szereg np. kryterium pierwiastkowym Cauchy'ego sprawa wyglądałaby nieco inaczej).
Kryterium Cauchy'ego zbieżności/rozbieżności szeregów
Niech:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = g \]
Szereg liczbowy:
\[ \sum_{n=1}^\infty a_n \]
jest zbieżny gdy \( g < 1\), natomiast jest rozbieżny gdy \( 1 < g \leq \infty \). W przypadku gdy granica jest równa \(1\) to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga zbieżności/rozbieżności szeregu liczbowego. Należy zastosować inne kryterium (podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta).
Przykład 8
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n + 3^n}{5^n + 2^n} \]
Zabierzmy się za granicę:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{4^n + 3^n}{5^n + 2^n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{4^n +3^n}}{\sqrt[n]{5^n + 2^n}} = \frac{4}{5} \]
Granica jest mniejsza od 1, więc na podstawie kryterium Cauchy'ego badany szereg jest zbieżny.
Do obliczenia powyższej granicy należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
Mianownik:
\[ \sqrt[n]{5^n} \leq \sqrt[n]{5^n + 2^n} \leq \sqrt[n]{5^n + 5^n} \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n} = \lim_{n \to \infty} 5^{\frac{n}{n}} = 5 \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5^n + 5^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2 \times 5^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} \times \sqrt[n]{5^n} = 1 \times 5 \]
Granice ciągów ograniczających są równe 5, więc na podstawie twierdzenia o trzech ciągach granica ciągu "środkowego" jest również równa 5.
Obliczenie granicy licznika jest analogiczne.
Przykład 9
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n} + 1}{n^n + 1} \]
Rozwiązanie wygląda tak:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{\sqrt{n} + 1}{n^n + 1} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{ \sqrt{n} + 1 }}{\sqrt[n]{n^n +1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
Badany szereg jest więc zbieżny. W tym przypadku do obliczenia granic licznika i mianownika również należy skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.
Licznik:
\[ \sqrt[n]{\sqrt{n}} \leq \sqrt[n]{\sqrt{n} + 1} \leq \sqrt[n]{2\sqrt{n}} \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{2n}} = 1 \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} 2^\frac{1}{n} \times n^\frac{1}{2n} = 1 \]
Mianownik:
\[ \sqrt[n]{n} \leq \sqrt[n]{n^n + 1} \leq \sqrt[n]{2n^n} \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^n} = n \]
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2n^n} = 1 \times n \]
Przykład 10
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(2+\frac{1}{n})^{3n+2}}{(3-\frac{1}{n})^{2n+1}} \]
Rozwiązujemy następującą granicę:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{(2+\frac{1}{n})^{3n+2}}{(3-\frac{1}{n})^{2n+1}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(2+\frac{1}{n})^{3n+2}}}{(3-\frac{1}{n})^{2n+1}} = \frac{8}{9} \]
Granica jest mniejsza od 1 więc szereg liczbowy jest zbieżny.
Granicę licznika i mianownika rozwiązujemy w podobny sposób, wykorzystać należy ciąg, którego granica dąży do liczby Eulera.
Licznik:
\[ \lim_{n \to \infty} = \sqrt[n]{\left( 2+ \frac{1}{n} \right)^{3n+2}} = \lim_{n \to \infty} \left( 2+\frac{1}{n} \right)^{\frac{3n+2}{n}} = 8 \times \lim_{n \to \infty} \left(2+\frac{1}{n} \right)^{\frac{2}{n}}= \]
\[ 8 \times \lim_{n \to \infty} \left[ 2 \left( 1+ \frac{1}{2n} \right) \right]^{\frac{2}{n}} = 8 \times \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{2}{n}} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{\frac{2}{n}} = \]
\[ 8 \times \lim_{n \to \infty} 1 \times \left[ \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n} \right]^{\frac{1}{n^2}} = 8 \times \lim_{n \to \infty} e^\frac{1}{n^2} = 8 \]
Mianownik:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( 3 - \frac{1}{n} \right)^{2n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left( 3 - \frac{1}{n} \right)^{\frac{2n+1}{n}} = 9 \times \lim_{n \to \infty} \left( 3 -\frac{1}{n} \right)^{\frac{1}{n}} = \]
\[ 9 \times \lim_{n \to \infty} \left[ 3 \left( 1 - \frac{1}{3n} \right) \right]^{\frac{1}{n}} = 9 \times \lim_{n \to \infty} 3^{\frac{1}{n}} \left( 1 -\frac{1}{3n} \right)^{\frac{1}{n}} = \]
\[ 9 \times \lim_{n \to \infty} 1 \times \left[ \left( 1 + \frac{1}{-3n} \right)^{-3n} \right]^{ \frac{1}{-3n^2} } = 9 \times \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{-3n^2}} = 9 \]
Kryterium Leibniza zbieżności szeregów
Jeżeli \(b_n\) jest nierosnący i \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0\) to szereg \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} b_n \) jest zbieżny.
Kryterium Leibniza jest szczególnym przypadkiem kryterium Dirichleta (ciąg \((-1)^{n+1}\) jest ograniczony przez 1) i służy do badania szeregów anharmonicznych.
Dość istotną różnicą w porównaniu z poprzednio opisanymi kryteriami (z wyłączeniem kryterium całkowego) jest brak wartości bezwzględnej. Badając zbieżność szeregu poprzednimi kryteriami zapewniona była zbieżność bezwzględna (suma szeregu zbieżnego bezwzględnie pozostaje zawsze taka sama przy dowolnym przestawieniu jego wyrazów). W przypadku kryterium Leibniza jest, jak widać, inaczej - badamy zbieżność warunkową (szereg, który jest zbieżny i nie jest zbieżny bezwzględnie nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo).
Ważne jest następujące twierdzenie:
Jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Przykładem tego może być następujący szereg:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \]
Badamy szereg wg kryterium Leibniza:
\[ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \]
i na jego podstawie stwierdzamy, że szereg jest zbieżny.
Zbadajmy, więc teraz zbieżność bezwzględną:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| \Leftrightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty \]
Powyższy szereg jest rozbieżny (Patrz: Przykład 2), czyli badany szereg jest zbieżny warunkowo.
Przykład 11
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n+2}{n^2 + 3} \]
Ciąg \(b_n\) jest nierosnący ponieważ:
\[ \frac{n+2}{n^2+3} \geq \frac{n+3}{n^2 + 2n + 4} \]
dla \( n > 1\).
Z kolei granica:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n^2 + 3} = 0 \]
Więc na podstawie kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny (warunkowo).
Przykład 12
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n \pi + \frac{\pi}{2})}{n \sqrt{n}} \]
Na początku upraszczamy szereg:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (n \pi + \frac{\pi}{2})}{n\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n\sqrt{n}} \]
\[ \sin \left( n\pi + \frac{\pi}{2} \right) = \sin (n \pi) \cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2}) \cos (n \pi) = 0 \times 0 + 1 \times (-1)^n \]
Sytuacja jest już całkowicie klarowna, licząc analogicznie jak w poprzednim przykładzie pokażemy, że wg kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny (warunkowo).
Przykład 13
Zbadać zbieżność bezwzględną szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} \]
Wg kryterium Leibniza szereg ten jest zbieżny warunkowo (ciąg \(b_n\) jest nierosnący a jego granica jest równa 0).
Zbadajmy teraz zbieżność bezwzględną szeregu, np. z kryterium d'Alemberta:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^n}{(2n)!} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)!} \]
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(2n + 2)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(2n)!(2n+1)(2n+2)} = 0 \]
Powyższa granica jest równa 0, więc na podstawie kryterium d'Alemberta orzekamy zbieżność szeregu.
Kryterium porównawcze zbieżności/rozbieżności szeregów
Niech \(0 \geq a_n \geq b_n\). Wtedy:
- zbieżność szeregu liczbowego o wyrazach \(a_n\) wynika ze zbieżności szeregu o wyrazach \(b_n\),
- rozbieżność szeregu liczbowego o wyrazach \(b_n\) wynika z rozbieżności szeregu o wyrazach \(a_n\).
Warto a propos kryterium porównawczego wspomnieć o zbieżności/rozbieżności szeregu harmonicznego.
Zbieżność/rozbieżność szeregu harmonicznego
Szereg harmoniczny \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}\)
- jest zbieżny dla \(\alpha > 1\),
- jest rozbieżny dla \(0 \leq \alpha \leq 1\)
Przykład 14
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n} \]
Dokonujemy kolejnych przekształceń (w kierunku wyrazów badanego szeregu) następującej nierówności:
\[ 1 \geq 0 \]
\[ n \geq 0 \]
\[ n^2 + n \geq n^2 \]
\[ \frac{1}{n^2 + n} \leq \frac{1}{n^2} \]
Szereg \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\) jest zbieżny (szereg harmoniczny rzędu 2) więc na podstawie kryterium porównawczego badany szereg jest również zbieżny.
Przykład 15
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2} \]
W badaniu zbieżności powyższego szeregu wykorzystamy fakt: \(\ln \leq 2\sqrt{n}\). Wystarczy odpowiednio przekształcić tą nierówność wykorzystując własności logarytmów:
\[ 0 \leq 2\sqrt{n} - \ln n \]
\[ 0 \leq \ln {e^{2\sqrt{n}}} - \ln {n} \]
\[ 0 \leq \ln{ \frac{e^{2\sqrt{n}}}{n} } \]
Logarytm naturalny jest rosnący i większy od zera będzie gdy: \( 1 \leq \frac{e^{2\sqrt{n}}}{n} \) czyli dla każdego \(n \in \mathbb{N}\).
Przekształcenie wygląda tak:
\[ \frac{\ln n}{n^2} \leq \frac{2\sqrt{n}}{n^2} = \frac{2}{n^{\frac{3}{2}}} \]
Szereg:
\[ 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\frac{3}{2}} \]
jest zbieżny (szereg harmoniczny rzędu \(\frac{3}{2}\)) więc na podstawie kryterium porównawczego badany szereg jest zbieżny.
Przykład 16
Zbadać zbieżność szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + \sin n!}{3^n} \]
Przekształcamy kolejno wyrazy szeregu zachowując nierówności:
\[ \frac{2^n + \sin n!}{3^n} \leq \frac{2^n + 2}{3^n} \leq \frac{2^{n+1}}{3^n} \]
Zbieżność szeregu:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n+1}}{3^n} \]
można wykazać za pomocą kryterium Cauchy'ego. Tak więc na podstawie kryterium porównawczego badany szereg jest zbieżny.
Jak pokazuje ostatni przykład przy badaniu szeregu kryterium porównawczym nie musimy koniecznie go przekształcić do szeregu harmonicznego aby na koniec orzec zbieżność. Równie dobrze możemy sprowadzić szereg do prostszej postaci aby wtedy w łatwy sposób poradzić sobie z nim za pomocą innych kryteriów.
Literatura
- M. Gewert, Z. Skoczylas - "Analiza matematyczna 2 - Definicje, Twierdzenia, Wzory", Wyd. 13, Wrocław: GIS 2005,
- A. Sołtysiak - "Analiza matematyczna Część I", Poznań: Wydawnictwo naukowe UAM 1995.