Kryterium Weierstrassa służy do badania zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. Szeregiem funkcyjnym jest po prostu suma funkcji, jest nim np. szereg potęgowy (szereg w postaci \(\sum c_n (x^n -x_0)\) ) czy szereg Fouriera.
Przed rozpoczęciem czytania tego arytukułu zalecam zapoznać się z kryteriami badania zbieżności szeregów liczbowych. Samo kryterium Weierstrassa jest bardzo podobne do kryterium porównawczego, potrzebna będzie również znajomość pozostałych kryteriów
Kryterium Weierstrassa o zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego
Niech dla dowolnego \(n \geq n_0\) oraz \(x \in \mathbb{X}\) wyrazy szeregu funkcyjnego \( \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \) spełniają nierówność \( |f_n| \leq a_n\).
Szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny na \(\mathbb{X}\) wgdy szereg liczbowy \( \sum_{n=0}^\infty a_n \) jest zbieżny.
Szereg liczbowy, który ogranicza nam szereg funkcyjny z góry nazywamy majorantą.
Jak widać jest to trochę urozmaicona wersja kryterium porównawczego dla szeregów liczbowych. W przypadku kryterium Weierstrassa również dokonujemy odpowiednich przekształceń, do szeregów liczbowych zbieżnych lub takich których zbieżność będziemy w stanie określić przy pomocy kryteriów zbieżności szeregów liczbowych (biorąc przy tym oczywiście pod uwagę \(x\), który jest zmienną!).
Przykład 1
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na \(\mathbb{R}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n^2} \]
Zacznijmy więc od przekształceń tego szeregu. Oczywistą rzeczą jest to, że funkcja \(|\sin nx|\) (dla dowolnego \(n \in \mathbb{N}\)) jest ograniczona z góry przez 1. Dostajemy od razu w ten sposób szereg liczbowy:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \]
który jest majorantą dla naszego szeregu funkcyjnego. Tak więc na podstawie kryterium Weierstrassa pokazujemy, że badany szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na \(\mathbb{R}\).
Przykład 2
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na \(\mathbb{R}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^2 2^n}{(x^2+1)3^n} \]
W tym przypadku aż prosi się o to by wyłączyć wyrażenia z \(x\) przed szereg (i potem po prostu zastosować któreś z kryteriów dot. szeregów liczbowych). Najpierw jednak musimy znaleźć ograniczający szereg. Zauważmy, że wszystkie \(x\) są w potędze 2, czyli wartości zmiennych zawsze będą nieujemne, dzięki temu bez żadnych przeszkód możemy opuścić wartość bezwzględną. Musimy więc znaleźć "coś" większego od wyrażenia:
\[ \frac{x^2 2^n}{(x^2 +1)3^n} \]
Zacznijmy więc od mianownika:
\[ 3^n \geq 3^n \]
\[ (x^2+1)3^n \geq 3^n \]
\[ \frac{x^2 2^n}{(x^2+1)3^n} \leq \frac{x^2 2^n}{3^n} \]
Możemy się teraz zabrać za badanie szeregu liczbowego:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n} \]
Zasadnicze pytanie: gdzie \(x^2\) zniknął?
Można wyłączyć zmienną przed szereg, mnożenie szeregu liczbowego przez skalar różny od zera nie wpływa na jego zbieżność, stąd możemy zająć się samym szeregiem liczbowym.
Powyższy szereg jest oczywiście zbieżny, bardzo łatwo to sprawdzić chociażby z kryterium Cauchy'ego. W ten sposób uzyskaliśmy odpowiedź na całe zadanie: na podstawie kryterium Weierstrassa badany szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na \(\mathbb{R}\).
Przykład 3
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na \(\mathbb{R}\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x}{1+n^4 x^2} \]
Sytuacja wygląda podobnie jak w poprzednim przykładzie, niestety w liczniku niewiadoma jest pierwszego stopnia. Jesteśmy więc zmuszeni rozpatrzenia dwóch przypadków, dla \(x\geq 0\) i dla \( x < 0\) . Sprowadza się to po prostu do znalezienia dwóch zbieżnych szeregów liczbowych (szereg, który jest zbieżny na dwóch różnych przedziałach jest również zbieżny na ich sumie). Zacznijmy od przypadku gdy \(x \geq 0\):
\[ n^4 \geq n^4 \]
\[ n^4 x^2 \geq n^4 \]
\[ 1 +n^4 x^2 \geq n^4 \]
\[ \frac{x}{1+n^4 x^2} \leq \frac{x}{n^4} \]
Otrzymujemy tutaj szereg harmoniczny z wykładnikiem większym od 1, jest on więc zbieżny. Przekształcenia dla \(x < 0\) wyglądają prawie identycznie, wystarczy pomnożyć obustronnie przez \(-1\) (pamiętajac o zmianie znaku nierówności). Nierówność jest prawdziwa, otrzymujemy ten sam zbieżny szereg liczbowy, pokazaliśmy że na obu przedziałach zachodzą nierówności, tak więc na podstawie kryterium Weierstrassa orzekamy zbieżność jednostajną badanego szeregu funkcyjnego.
Przykład 4
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na przedziale \([0, \infty]\):
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^2}{e^{nx}} \]
W takim przypadku dążymy do znalezienia szeregu liczbowego "potęgowego". Należy zwrócić uwagę na rozpatrywany przedział, na tym przedziale mianownik dąży do nieskończoności, dzięki czemu rozpatrujemy tylko jeden przypadek.
\[ \left| \frac{x^2}{e^{xn}} \right| = \frac{x^2}{e^{xn}} \]
Zacznijmy więc od następujących przekształceń:
\[ e^n \geq e^n \]
\[ e^nx \geq e^n \]
\[ \frac{x^2}{e^{nx}} \leq \frac{x^2}{e^n} \]
Szereg liczbowy:
\[ x^2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^n} \]
Jest zbieżny co można pokazać wg kryterium Cauchy'ego. Ostatecznie: szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na wskazanym przedziale.
Przykład 5
Zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego na przedziale \([1, \infty]\):
\[ \sum_{n=1}^\infty e^{-\sqrt{nx}} \]
Przekształćmy najpierw szereg do następującej postaci:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{\sqrt{nx}}} \]
Teraz znajdziemy majorantę (pamiętając o przedziale \(x \in [1,\infty]\)):
\[ e^{\sqrt{nx}} \geq e^{\sqrt{n}} \]
\[ \frac{1}{e^{\sqrt{nx}}} \leq \frac{1}{e^{\sqrt{n}}} \]
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{\sqrt{n}}} \]
Musimy teraz pokazać zbieżność tego szeregu, spróbujmy kryterium całkowym. W takim razie zacznijmy od zbadania monotoniczności funkcji:
\[ f(x) = \frac{1}{e^{\sqrt{x}}} \]
przy pomocy pochodnej:
\[ f'(x) = \frac{\frac{-e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}}{e^{2\sqrt{x}}} = \frac{-e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x} \times e^{2\sqrt{x}}} \]
Funkcja będzie nierosnąca wgdy jej pochodna będzie mniejsza lub równa zero i rzeczywiście tak jest bo:
\[ -e^{\sqrt{x}} \leq 0 \]
Możemy więc zabrać się za obliczenie całki niewłaściwej (wg kryterium całkowego), najpierw przez podstawienie, później przez części:
\[ \int_{1}^\infty \frac{1}{e^{\sqrt{x}}} dx = \lim_{t \to \infty} \int_1^t e^{-\sqrt{x}} dx = \begin{Bmatrix} u = -\sqrt{x} \\ u^2 = x \\ 2u du = dx \end{Bmatrix} = \]
\[ 2 \lim_{t \to \infty} \int_1^t ue^u du = \begin{Bmatrix} w = u & v' = e^u \\ w' = 1 & v = e^u \end{Bmatrix} = 2 \lim_{t \to \infty} \left( \left| ue^u \right|_1^t - \int_1^t e^u du \right) = \]
\[ 2 \lim_{t \to \infty} \left( |ue^u - e^u|_1^t \right) = 2 \lim_{t \to \infty} \left( \left| -\sqrt{x} e^{-\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}} \right|_1^t \right) = \]
\[ 2 \lim_{t \to \infty} \left( \frac{-\sqrt{t}}{e^{\sqrt{t}}} - \frac{1}{e^{\sqrt{t}}} + \frac{1}{e} + \frac{1}{e} \right) = 2 \lim_{t \to \infty} \left( 0 - 0 + \frac{2}{e} \right) = \frac{4}{e} \]
Całka jest zbieżna, czyli badany szereg liczbowy jest również zbieżny, który z kolei jest majorantą szeregu funkcyjnego, tak więc na podstawie kryterium Weierstrassa orzekamy jego zbieżność jednostajną (na badanym przedziale).
Literatura
- M. Gewert, Z. Skoczylas - "Analiza matematyczna 2 - Definicje, Twierdzenia, Wzory", Wyd. 13, Wrocław: GIS 2005.